Трудный путь от «никто почти ничего не понял» к «это сочинение доставит Вам исключительное наслаждение». Прорыв к современной математике

Трудный путь от «никто почти ничего не понял» к «это сочинение доставит Вам исключительное наслаждение». Прорыв к современной математике

200 лет назад, 11 (23) февраля 1826 года, на Учёном совете Императорского Казанского университета состоялся доклад Николая Ивановича Лобачевского «Сжатое изложение начал геометрии». Ныне, много лет спустя, рядовое, казалось бы, событие оценивается иначе.

Эту дату в научном мире принято считать временем рождения неевклидовой геометрии. Немало и приверженцев того мнения, что именно так впервые заявила о себе современная математика.

«Мы не ушли в этом вопросе дальше, чем Евклид»

Аксиома о параллельных прямых известна нам со школы: в плоскости через точку, лежащую вне прямой, можно провести лишь единственную прямую, параллельную данной. Её ввёл Евклид, хотя прежде он пытался доказать её справедливость как теоремы. Да и современникам Лобачевского эта аксиома не давала покоя. Так, Ламберт искал теоремы, справедливые без её использования, а Лежандр при многочисленных переизданиях своего учебника геометрии всякий раз делал новую попытку доказательства аксиомы о параллельных и позже обнаруживал ошибку.

Итожа эти труды, Гаусс (1777–1855) писал: «В области математики найдётся мало вещей, о которых было бы написано так много, как о проблеме в начале геометрии при обосновании теории параллельных линий… И всё же, если мы хотим говорить честно и открыто, то нужно сказать, что, по существу, за 2000 лет мы не ушли в этом вопросе дальше, чем Евклид».

В 23 года — профессор

Н. И. Лобачевский (1792–1856), молодой и даровитый профессор математики, читавший студентам Казанского университета курс геометрии, вероятно, особенно внимательно прорабатывал все материалы, готовясь к лекциям. Представим себе этого молодого человека. В 23 года — профессор, в 27 лет — декан физико-математического факультета, в 34 — ректор университета. Николай Иванович учился и трудился в то время, когда складывалась и пожинала первые плоды российская система образования. Да он и сам был её плодом. Сначала его воспитывали в недавно созданной Казанской гимназии, затем он поступил в только что открывшийся Казанский университет. Там в числе его педагогов был и М. Бартельс, друг и учитель К. Гаусса.

Сменив Бартельса на посту декана в 1820 году, Лобачевский по-прежнему много преподавал. Один из его лекционных курсов назывался «Элементарная геометрия с высшей точки зрения». В 1823 году Лобачевский представил свои лекции в печать, но они остались неопубликованными. Академик П. Н. Фусс, правнук Л. Эйлера, дал тогда отрицательный отзыв, указав на чрезмерный отход от Евклидовой традиции. Бартельс, к которому Лобачевский обратился за советом, тоже не поддержал его новшества.

Иллюстрация 1. Портрет Н. И. Лобачевского

Новая геометрия и обновление университета

Как мы знаем, Лобачевский постепенно уверился в недоказуемости аксиомы о параллельных, но на этом не остановился. Следующим его шагом стало развитие теории, основанной на всех аксиомах Евклидовой геометрии, кроме постулата о параллельных, который он заменил на его отрицание: «Через каждую точку плоскости, не лежащую на прямой, можно провести по крайней мере две прямые, не пересекающие данной прямой». Разумеется, в новой геометрии сразу обнаружились факты, совершенно непривычные для восприятия. Например, сумма углов любого треугольника меньше 180 градусов. Поэтому, когда Лобачевский в феврале 1826 года выступил с докладом на Учёном совете университета со своей «воображаемой геометрией», естественной реакцией большинства присутствовавших были молчание и недоумённый вопрос: «зачем всё это»?

Впрочем, административный и общий авторитет Лобачевского были так высоки, что уже в 1827 году тайным голосованием его избрали ректором университета и затем переизбирали на новый срок шесть раз. Именно при Лобачевском Казанский университет был заново отстроен, хорошо оснащён и превратился в украшение центральной части Казани (илл. 2).

Иллюстрация 2. Университет в Казани. Гравюра 1832 года

«Я разделяю те же взгляды»

Добиваясь понимания своих идей, Лобачевский развивал теорию неевклидовой геометрии и одновременно пытался чётко и систематично излагать достигнутые результаты в России и за рубежом. Первый его доклад отдельно не был опубликован, но вошёл в «Мемуар о началах геометрии», напечатанный в «Казанском вестнике» в 1829–1830 годы. В 1835 году вышла отдельным изданием «Воображаемая геометрия» (илл. 3), вскоре напечатанная в Берлине на французском языке. В 1840 году Лобачевский опубликовал на немецком языке свою книгу «Геометрические исследования по теории параллельных», два её экземпляра получил Гаусс — «король математиков». В письме своему другу и ученику астроному Г. Шумахеру Гаусс высоко оценил труд Лобачевского: «Вы знаете, что уже 54 года я разделяю те же взгляды; таким образом, я не нашёл для себя в сочинении Лобачевского ничего фактически нового. Но в развитии предмета автор следовал не по тому пути, по которому шёл я сам; оно выполнено Лобачевским мастерски, в истинно геометрическом духе. Я считаю себя обязанным обратить Ваше внимание на это сочинение, которое, наверное, доставит Вам совершенно исключительное наслаждение».

Но, несмотря на все попытки, без ясного ответа оставались два важных вопроса: как доказать непротиворечивость представленной теории? какую пользу может принести новая геометрия? Ответов не знал даже Гаусс.

Иллюстрация 3. Издание «Воображаемой геометрии», 1835 год

В петербургском журнале «Сын отечества» в 1834 году отметили: «Для чего же писать, да ещё и печатать, такие нелепые фантазии? <…> Если не учёность, то по крайней мере здравый смысл должен иметь каждый учитель, а в новой геометрии нередко недостаёт и сего последнего. <…> Новая геометрия написана так, что никто из читавших её почти ничего не понял».

Долгий путь к признанию

На похоронах Лобачевского в 1856 году, воздавая ему должное как замечательному администратору, учёному и человеку, никто не упомянул о его неевклидовой геометрии, считая её плодом больного воображения. Ведь даже такой крупный математик, как академик М. В. Остроградский, ученик О. Коши, отозвался о первом изложении новой геометрии в 1826 году на французском языке следующим образом: «Книга господина ректора Лобачевского опорочена ошибкой, она не заслуживает внимания».

Действительно, очень трудно было воспринять «воображаемую геометрию» Лобачевского, настолько противоречила попытка отказа от аксиомы о параллельных устоявшимся представлениям о допустимом в геометрии. Кроме того, непротиворечивость новой геометрии не была убедительно обоснована. Поэтому удивительно упорство Лобачевского в отстаивании своих выводов. Даже великий Гаусс не решился обнародовать свои мысли, во многом сходные с идеями Лобачевского, и запрещал другим что-либо публиковать по этим вопросам. Лобачевскому он не написал ни слова, но в 1842 году по предложению Гаусса Лобачевский был избран членом-корреспондентом Гёттингенского учёного общества.

Полное признание и широкую известность геометрия Лобачевского получила через 12 лет после его смерти. В 1868 году итальянский математик Э. Бельтрами в своём мемуаре «Опыт толкования неевклидовой геометрии» показал, что геометрия Лобачевского столь же непротиворечива, как геометрия Евклида. Появились и её наглядные модели.

Признание геометрии Лобачевского пришло к его столетнему юбилею, а в 1895 году Петербургская Академия наук учредила международную премию его имени, в 1896 году в Казани ему установили памятник.

Время прорыва

Теперь нам привычно, что математика XIX столетия заметно отличается от математики предыдущих веков. С той поры новые математические теории стали возникать не только в результате непосредственных запросов естествознания или техники, но также из внутренних потребностей самой математики. Примером такой теории и явилась «воображаемая геометрия» Лобачевского.

По мнению А. Н. Колмогорова, в XIX веке произошла перестройка всего склада математического мышления. Если прежде, например, введение в употребление отрицательных или комплексных чисел и точная формулировка правил действий с ними требовали длительной работы, то теперь математики сознательно и свободно стали создавать новые числовые и геометрические системы, новые «алгебры» и т. д. Поэтому с идейной стороны так значимо среди математических открытий XIX века появление неевклидовой геометрии Лобачевского.

Физика, естествознание тоже предъявляли свои запросы к математике. Отметим здесь, что крупнейший французский математик А. Пуанкаре (1854–1912), формулируя в 1897 году математические задачи для первоочередного решения, связал их с двумя основными, по его мнению, проблемами: «Создать математическую основу для квантовой физики и для теории относительности».

Перестройка расширяется

К концу XIX века сложился и современный стандарт требований к логической строгости. И этот стандарт существенно использовал развитую к тому времени теорию множеств Г. Кантора. Аппарат и результаты теории множеств оказались очень удобными для систематизации математических знаний, но рассмотрение бесконечных множеств вызвало много протестов. Ещё Аристотель различал потенциально бесконечные множества, то есть множества, которые можно неограниченно достраивать, и актуально бесконечные множества, то есть множества «в готовом виде»: «Бесконечное имеет потенциальное существование… Актуально бесконечное не существует». Против актуальной бесконечности выступали Коши и Гаусс, Гаусс писал: «В математике бесконечную величину нельзя использовать как нечто окончательное. Бесконечность — не более чем манера выражаться, означающая предел».

По мнению А. Пуанкаре: «Грядущие поколения будут рассматривать теорию множеств как болезнь, от которой они излечились». У немецкого математика Д. Гильберта было иное отношение: «Никто не изгонит нас из рая, созданного Кантором».

К концу XIX века многим казалось, что возможности математики как важнейшего инструмента естествознания не ограничены. На волне такого энтузиазма в 1898 году в Цюрихе состоялся первый математический конгресс. А уже спустя два года в Париже собрался второй Международный конгресс математиков. С докладом «Математические проблемы» выступил Д. Гильберт (1862–1943) (илл. 4).

Иллюстрация 4. Д. Гильберт

Доклад Гильберта — уникальное явление в истории: ни до него, ни после математики не выступали с научными сообщениями, охватывавшими проблемы математики в целом. В докладе Гильберт говорил о целостном характере математики как основе всего точного естествознания и представил свой основной тезис — о разрешимости в широком смысле слова всякой математической задачи.

Проблемы Гильберта

Далее он сформулировал 23 проблемы, начиная с теории множеств и обоснования математики: «1. Проблема Кантора о мощности континуума. 2. Непротиворечивость арифметических аксиом».

Первая проблема — это проверка континуум-гипотезы Кантора: мощность континуума (то есть множества всех вещественных чисел) есть первая мощность, превосходящая мощность множества всех натуральных чисел.

Затем Гильберт перешёл к геометрии, теории чисел, алгебре и завершил своё изложение проблем задачами анализа.

В начале прошлого века учёный мир с энтузиазмом воспринял предложенную программу исследований. Правда, уже скоро неожиданно возникли новые проблемы. А именно: обнаружились парадоксы, связанные с теорией множеств. Так, в 1902 году английский философ и математик Б. Рассел обнаружил парадокс, основанный на самом определении множества.

Как известно, парадокс Рассела разнообразно популяризировали уже в начале XX столетия. Особенно распространённая форма была предложена самим Расселом в 1919 году: «один деревенский брадобрей объявил, что он бреет тех и только тех жителей деревни, которые не бреются сами». Бреет ли он себя? Попробуем рассуждать логично. Если бреет, то, согласно его словам, себя не может брить, то есть не бреет; если не бреет, то, опять по его же словам, должен брить, то есть бреет. Таким образом, бреет тогда и только тогда, когда не бреет. Иными словами: и бреет, и не бреет.

Задача: преодолеть кризис!

Попытка выхода из наметившегося кризиса с помощью ограничения теоретико-множественных методов исторически привела к возникновению новой области математики — алгоритмической теории и практики.

Гильберт тоже предложил программу выхода из кризиса. Она состояла из двух частей. Первая часть заключалась в формализации арифметики, анализа и теории множеств. Предполагалось создать особый символический язык, на котором математические утверждения записывались бы формулами, положить в основу математики некоторое множество аксиом-формул и указать правила вывода одних утверждений-формул из других. Во второй части программы предполагалось доказать непротиворечивость построенного формального исчисления, то есть невозможность вывода в нём какого-либо утверждения вместе с его отрицанием. При этом требовалось, чтобы все рассуждения, используемые для доказательства непротиворечивости, носили настолько элементарный характер, что их правильность не вызывала бы сомнений.

Программа Гильберта и его энергичная деятельность дали мощный толчок развитию формальных логико-математических теорий. Казалось, успех был близок. Для арифметики оставалось: 1 — показать, что в рамках формализованной арифметики можно сформулировать и доказать все утверждения классической арифметики; 2 — доказать непротиворечивость созданной теории.

Неожиданные результаты

Как теперь известно, обе эти задачи оказались невыполнимыми в принципе. Уже в 1931 году появилась работа молодого австрийского математика Курта Гёделя (1906–1978), в которой содержались две теоремы, получившие общее название теоремы Гёделя о неполноте. Гёдель доказал, что если формальная система арифметики непротиворечива, то она не полна, то естьв ней существует утверждение-формула, которую нельзя ни доказать, ни опровергнуть в данной системе. При этом Гёдель доказал неполноту гильбертовой формальной системы, то есть обнаружил внутри системы ряд «неразрешимых» проблем — одной из них как раз и оказалась проблема непротиворечивости. Тем самым Гёдель продемонстрировал неосуществимость первой и второй частей программы Гильберта. Заодно был получен ответ на вторую проблему Гильберта (о непротиворечивости арифметических аксиом).

Гёдель внёс важный вклад в решение и первой проблемы Гильберта (проблема Кантора о мощности континуума). В 1935 году он доказал, что континуум-гипотеза не может быть опровергнута средствами теории множеств. Окончательный ответ был получен в 1963 году американским математиком Полом Коэном. Он сумел доказать, что и отрицание континуум-гипотезы невозможно опровергнуть теоретико-множественными средствами; то есть континуум-гипотезу невозможно ни доказать, ни опровергнуть. При этом мало кто сомневается в её справедливости. Впрочем, как и в том, что через точку плоскости, не лежащую на заданной прямой, можно провести лишь единственную прямую, параллельную заданной. Хотя математики утверждают, что мы живём в пространстве Лобачевского.

«Если бы не было теоремы Гёделя…»

Отметим, что, по мнению некоторых математиков, в математической среде присутствует какое-то сожаление о несостоявшейся полной формализации математики. Так, П. Коэн однажды высказался следующим образом: «Если бы не было теоремы Гёделя, то жизнь была бы приятнее».

Возражая ему, другой известный математик, академик Российской академии наук Алексей Николаевич Паршин, написал в своей статье «Размышления над теоремой Гёделя»: «Если бы не было теоремы Гёделя, жизнь не только не была бы приятнее, её просто бы не было».

Итак, далеко не всё в математике подвластно формализму и логике, то есть рациональному мышлению. Поразительная эффективность математики как инструмента естествознания тоже вряд ли будет когда-нибудь рационально объяснена.

«Только математика сумела строго доказать, что основана на вере»

Интересные исследования психологии математического творчества проводили в разное время такие корифеи, как Пуанкаре и Адамар. Оба они отмечали, что одним из наиболее фундаментальных, вне логических компонентов открытия в математике является так называемая вспышка озарения. Это ощущение знакомо и многим из нас, достаточно вспомнить наше обучение езде на велосипеде. При первых детских попытках езды на велосипеде мы никак не могли понять, как же можно сохранить равновесие и не упасть. Но в какой-то момент это понимание неожиданно приходило к нам, и мы уже легко катились на велосипеде, даже не задумываясь о равновесии.

По мнению А. Н. Паршина, и теорема Гёделя говорит о каком-то фундаментальном, глубинном свойстве мышления и, может быть, жизни вообще. Он также предположил, что в биологии должен быть верным факт, подобный теореме Гёделя. А именно: этот факт должен показывать невозможность полного описания живых организмов в чисто генетических терминах.

В связи с теоремой Гёделя приведём ещё интересную мысль, высказанную в статье «Непротиворечивость и полнота» из математического журнала American Mathematical Monthly 1956 года. По мнению её автора, до теоремы Гёделя все научные дисциплины, кроме математики, следовало бы признать основанными в той или степени на вере, независимо от того, чем эта вера вызвана. Одна математика представлялась строго формальной наукой. Теперь же после обнаружения утверждений, недоступных ни доказательствам, ни опровержениям, оказалось, что и математика основана на вере. Хотя по-прежнему она занимает особое положение среди научных дисциплин. Ведь только математика сумела строго доказать, что основана на вере.

Заметим, что провал в обосновании математики мало кого смущает, гораздо важнее поразительная эффективность математических методов в познании природы. Математика по-прежнему современна и многообещающа.